哇这可是个大新闻!好吧,或许……对公众而言,也没那么大。

不过它确实是一个长久以来悬而未决的问题:33是否可以写成三个整数立方的和。感谢Andrew R. Booker,现在不是了:

33=(8866128975287528)^3 +(- 8778405442862239)^3 +(- 2736111468807040)^3

数论领域下有一大分支叫丢番图方程:有一个或者几个变量的整系数方程,它们的求解仅仅在整数范围内进行。

丢番图(Diophantine)是一位古希腊的大数学家,为第一位懂得使用符号代表数来研究问题的人。其中丢番图最著名的事迹可能就是他的墓志铭——曾经连续多年出现在各地中小学生的寒假作业扩展训练上:
「坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,它忠实地记录了所经历的道路。
上帝给予的童年占六分之一,又过十二分之一,两颊长胡,再过七分之一,点燃起结婚的蜡烛。
五年之后天赐贵子,可怜迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半,便进入冰冷的墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补,又过四年,他也走完了人生的旅途。 」

问题至少可以追溯到1825年,数学家想知道,如果给定整数K,是否存在整数X、Y、Z,满足:
X^3 + Y^3 + Z^3 = K。在这里,K具体取值33。

前几天,Andrew发表了一篇题为Cracking the problem with 33的论文(超链接为论文PDF),解释了他是如何在K=33时,寻找到了方程的解。即使动用了复杂的数学工具来缩小可能解的范围,计算机搜索仍然需要一段时间:“用了15个核·年的计算时间,实际费时3周。”

Alex Kontorovich在Twitter上解释了这一进展的重要性。

哪些自然数可以表示成三个整数的立方和,这一问题是现代分析数论的祸根;它令人如此尴尬,以至于我们无法理解数字与数字之间到底有什么本质区别。经过长时间的努力,对于100以内的数字,我们统统找到了解——除了33和42。

现在只剩下42了!

数学家Bjorn Poonen早已证明,对于一般的K,问是否存在X、Y、Z,满足X^3 + Y^3 + Z^3 = K属于不可判定的问题。也就是说,我们只能对具体的K,尝试求解或证明其无解。


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