平面上通过一点的直线,要保证任意两条直线所成的夹角相等,则直线最多可有几条呢?

答案是3条直线。它们是正六边形的通过对称中心的那3条对角线。(或许有人说,有两条线所成角是120°吧,它的补角啦)

等角线问题是空间中通过一个点的直线,使任意两条直线的夹角都相等,则直线的数目最多为多少。

思考题:三维空间中的等角线最多有几条?

数学助理教授赵宇飞(18年拿过MIT未来科学奖,国内正规媒体报道就是这个名字,我也就不用拼音了)说:"在高维度上,事情开始变得有趣,而且可能的答案似乎是无限。”

但根据赵和麻省理工学院的数学家团队,它们并不是无限的。他们解决了关于高维空间中等角线数量的几何问题。这是已经困惑了数学界至少70年的难题。

他们的突破决定了可以放置的线条的最大可能数量,以便这些线条以相同的给定角度成对分开。赵与麻省理工学院的一组研究人员共同撰写了论文。 他们的论文将发表在2022年1月的《数学年鉴》上(ANNALS OF MATHEMATICS数学顶刊)。

他们借助图论的工具,使用谱图理论发展出了全新的思想,为研究网络结构提供了新的数学工具。谱图理论孕育了计算机科学中的重要算法,如谷歌用于其搜索引擎的PageRank算法。

他们的纯数学研究或对编码和通信领域有潜在影响。等角线是 "球形编码" 的例子,后者是信息理论中的重要工具,允许不同地址在一个嘈杂的通信渠道上相互发送信息。

最新结果建立在1973年P.W.H. Lemmens和J.J. Seidel一篇论文中提出的定理之上。

普林斯顿大学数学教授Noga Alon说:"这是一个美丽的结果,为极值几何学中精心研究的问题提供了一个令人惊讶的精确答案,这个问题从60年代开始就受到了相当多的关注。”

"当时有一些好的想法,但后来人们被卡住了近三十年。"赵说。

这项研究得到了Alfred P. Sloan基金会和国家科学基金会的部分支持。另两位合作者,姚和张通过数学系的本科生研究暑期项目(SPUR)参与了这项研究,而Tidor是他们的研究生导师。他们的成果为他们赢得了数学系的Hartley Rogers Jr. 最佳SPUR论文奖。

"这是SPUR项目最成功的成果之一,"赵说,"不是每天都能有一个长期的开放性问题得到解决。"

这项工作同时为谱图理论提供了一个新的定理——一个有界的度数图必须有亚线性的第二特征值多重性。

"这个证明干净而漂亮。我们在一起研究这个问题时倍感快乐。"

https://phys.org/news/2021-10-mathematicians-geometry-problem-equiangular-lines.html


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