不知道大家注意到没有,把一个冰块放入一杯水中,想象它开始融化的样子。无论冰块融化成什么形状,我们都不会看到它出现尖锐的边缘和细小的尖角。

数学家用依据经验构建的方程来模拟这一融化过程。这些方程运行良好,但花了130年时间才证明它们与现实相符。现在,在3月份发表的一篇论文中,瑞士苏黎世联邦理工学院的Alessio Figalli和Joaquim Serra以及巴塞罗那大学的Xavier Ros-Oton已经确定,这些方程确实与直觉相符。但包含尖角的形态并非不可能——它们极为罕见,转瞬即逝。

瑞士洛桑联邦理工学院的 Maria Colombo 说:"这些结果为该领域打开了全新视角。以前没有对这一现象有如此深入和精确的了解。"

冰如何在水中融化的问题被称为斯特凡问题Stefan problem,以物理学家约瑟夫·斯特凡 Josef Stefan命名,他在1889年提出了这个问题。它是 "自由边界"问题最重要的例子:数学家考虑像热扩散这样的过程如何使边界移动。在这种情况下,边界存在于冰水之间。

多年来,数学家们一直试图理解这些不断演变的边界的复杂模型。为了取得进展,这项新工作从以前对一种不同类型的物理系统的研究中获得了灵感:肥皂膜。在这些研究的基础上证明,沿着冰和水之间不断演变的边界,尖点如尖角或边缘很少形成,即使形成,也会立即消失。

这些尖锐、突兀的点被称为奇点,事实证明,它们在数学的自由边界中和在物理世界中一样是短暂的。

融化的沙漏

再考虑一下,水杯中的冰块。这两种物质是由相同的水分子组成的,但处于两个不同的阶段:固体和液体。这两个相的交界处存在一个边界。但是当水的热量转移到冰中时,冰就会融化,边界就会移动。最终,冰和边界一起消失。

直觉可能会告诉我们,这个融化的边界始终保持平滑。但是,只要有一点想象力,就很容易设想出出现尖点的情况。

拿一块沙漏形状的冰块,将其浸没水中。随着冰的融化,沙漏的腰部变得越来越细。在这种情况发生的时候,曾经光滑的腰部变成了两个尖尖的顶角。

帕尔马大学的Giuseppe Mingione 说:"这是自然现出奇点的情况之一,是物理现实揭示的答案。”

1889年,斯特凡从数学上对这个问题进行了仔细研究,列出了两个描述冰融化的方程式。一个方程刻画了热量从温暖的水扩散到冰中,这使冰缩减,同时导致水的区域膨胀。第二个方程跟踪了融化过程中冰和水之间的界面变化。(事实上,这些方程也可以描述冰导致周围的水结冰的情况--但在目前的工作中,研究人员忽略了这种可能性。)

花了近100年的时间,直到20世纪70年代,数学家证明这些方程存在坚实的基础。给出一些起始条件--对水的初始温度和冰的初始形状的描述,就可以准确描述温度(或称为累积温度的密切相关量)如何随时间变化。

但是他们没有发现任何东西可以排除奇点的情况。例如,方程允许存在冰融成如同刺猬状的中间态,或者完全静止的尖锐雪花。但在物理上,我们从来未曾观察到这种东西。斯特凡问题变成了一个表明这些情况下的奇异性实际上得到很好控制的问题。

换句话说,我们需要调和数学理论和物理现实之间的差异。否则,这将意味着冰雪融化模型是一场大失败--它愚弄了几代数学家。

此时,肥皂薄膜出场了。肥皂溶液可以形成薄膜,那是液体和空气之间的边界——与水和冰之间的边界类似。

关于肥皂泡泡的外膜的数学性质,是另一个看似娱乐,实则非常严肃、重大的数学问题。由肥皂薄膜引出的最小曲面理论是过去100年里最伟大的数学成果之一。1961年和1962年, Ennio De Giorgi, Wendell Fleming 等人想出一整套优雅的技巧,用于确定奇点的情况是否像人们担心的那样糟糕。这里涉及复杂的微分几何技术,大致可以理解成用放大镜观察液膜表面。

顺理成章地,1977年,Luis Caffarelli为Stefan问题重新发明了一个数学放大镜。他没有放大肥皂液膜,而是放大冰和水之间的边界。

"这是他伟大的直觉,他能够将这些方法从De Giorgi的最小表面理论转移到这个更普遍的环境中。"

当数学家们放大肥皂膜方程时,他们只看到了平坦性。但是当Caffarelli放大冰和水之间的边界时,他有时会看到完全不同的东西:几乎完全被温暖的水包围的尖点。这些点对应于冰尖--奇点--由于融化边界的退却而变得突兀。

Caffarelli证明了冰融化的数学中存在奇点。他还设计了一种方法来估计奇点的个数。在冰雪奇点的确切位置,温度总是零摄氏度,因为奇点是由冰组成的。这是一个简单的事实。但值得注意的是,他发现,当远离奇点时,温度会以一种明显的模式增加。离奇点一个单位的距离的水,温度会上升大约一个单位的温度。如果你移动两个单位的距离,温度会上升大约四个单位。

这被称为抛物线关系,因为如果你把温度作为距离的函数作图,你会得到近似抛物线的形状。但是,由于空间是三维的,你可以在三个不同的方向上绘制温度图。因此,温度看起来像一个三维抛物线,这种形状称为抛物面。

总而言之,Caffarelli的洞察力提供了一种清晰的方法来确定冰水边界的奇点的大小。奇点被定义为温度为零摄氏度的点,抛物线描述了奇点及其周围的温度。因此,在抛物线等于零的任何地方,都有一个奇点。

"这对模型来说将是一场灾难。完全的混乱,"Figalli说,他在2018年获得了数学界的最高荣誉——菲尔兹奖。

然而, Caffarelli的结果只是一个最坏的情况。它确定了潜在奇点的最大尺寸,但它没有说明奇点在方程中实际发生的频率,或者它们持续的时间。到2019年,Figalli, Ros-Oton 和Serra 想出了一个非凡的方法来找出更多的东西。

不完美的模式

为了解决斯特凡问题,Figalli等人需要证明,方程中出现的奇点是可控的。它们的数量不多,而且不会持续很久。要做到这一点,他们需要全面了解可能形成的所有不同类型的奇点。

Caffarelli在理解冰融化时奇点如何发展方面取得了进展,但这个过程中有一个问题他不知道如何解决。他认识到,奇点周围的水温遵循一个抛物线模式。他还认识到,它并不完全遵循这一模式--在一个完美的抛物线和水温的实际情况之间有一个小的偏差。

Figalli、Ros-Oton和Serra将显微镜移到这个与抛物线模式的偏差上。当他们放大这个小瑕疵--从边界上挥去的一丝凉意--他们发现它有自己的各种模式,这些模式产生了不同类型的奇异现象。

他们能够证明所有这些新类型的奇点都迅速消失了--就像它们在自然界中一样--除了两个特别神秘的奇点。他们的最后一个挑战是证明这两种类型也会一出现就消失,这样就排除了冰尖角持续存在的可能性。

消失的尖角

第一种类型的奇点曾经出现过,在2000年。一位名叫 Frederick Almgren的数学家在一篇长达1000页(!!)的令人生畏的论文中对其进行了研究,论文在他去世后才由他的妻子Jean Taylor--另一位最小曲面专家--发表。

虽然数学家们已经表明,肥皂膜在三维空间中总是光滑的,但Almgren证明,在四维空间中,一种新的 "分支" 奇点可以出现,使肥皂膜以奇怪的方式变得尖锐。这些奇点是深刻且抽象的,不可能视觉化。然而,Figalli他们意识到,沿着冰和水的边界可以形成类似的奇点。

"这种联系有点神秘。"Serra说,"有时在数学中,事情的发展是出乎意料的。"

他们利用Almgren的工作表明,这些分支奇点之一周围的冰必须是圆锥形。而且,与温度的抛物线模式不同,抛物线模式意味着奇点可能沿整条线存在,而圆锥形模式只能在一个点上有一个尖锐的奇点。利用这一事实,他们表明,这些奇点在空间和时间上是孤立的。一旦形成,就会立刻消失。

第二种奇点甚至更加神秘。为了了解它,想象一下将一块薄冰浸入水中。它将缩小,缩小,突然一下子消失。但就在那一刻之前,它将形成一个片状奇点,一个像剃刀一样锋利的二维墙。

在某些点上,研究人员设法放大发现了一个类似的情况:两个冰的锋面向该点坍塌,就像它位于一个薄冰片内一样。这些点并不完全是奇点,而是一个奇点即将形成的位置。问题是这些点附近的两个锋面是否同时坍塌。如果发生这种情况,片状奇点在消失之前将只存在片刻。最后,他们证明了这实际上可以由方程推导出来。

在证明了奇异的分支和片状奇点都是罕见的之后,研究人员可以做出这样的一般性声明:斯特凡问题的所有奇点都是罕见的。

"如果随机选择一个时间,那么看到奇点的概率是零。"

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-melting-ice-stays-smooth-20211006/


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