三位数学家彻底证明了Talagrand在1995年提出的凸性猜想，将几何问题转化为概率论问题求解，结果可能影响数据科学和机器学习。
有时候，提出一个问题的人自己都不相信会有答案。1995年，后来获得阿贝尔奖的数学家Michel Talagrand提出了一个著名的数学猜想：能否在任意维度中，用固定且统一的步数(通过所谓的Minkowski求和运算)"创造"出凸性？
凸性在数学中意味着一个形状或函数向外弯曲，不存在间隙或向内凹陷。以二维的圆或正方形、三维的球体或立方体为例，任意两点连线都完全在形状内部。Talagrand的猜想涉及Minkowski求和，这是一种将两个点集或几何形状中每一个点相加的数学运算。维度越高，问题越复杂，有人称之为"维度诅咒"：几何复杂度和计算时间都随维度呈指数级爆炸。
Talagrand本人不相信这个猜想可解，并悬赏2000美元征求证明。他曾对《科学美国人》说："我当年做出这个大胆猜想，其实没有任何依据，只是在黑暗中放了一枪。当你说出这样的东西时，你感觉它不可能是真的。"
现在，加州理工学院的Dongming Hua和Antoine Song，以及普林斯顿大学的Stefan Tudose，联手给出了答案。他们将Talagrand的几何猜想转化为概率论和随机向量问题，在arXiv预印本上证明了等价的概率版本：任何n维空间中的1亚高斯随机向量都可以表示为三个标准高斯随机向量的和。
这一结果解决了Talagrand的凸性问题，证明对于高斯空间中任意充分大的集合，可以在原集合的三重求和中找到一个具有显著测度的凸集。该证明同时也确认了这一问题的组合数学类比，对离散数学具有重要意义。
有趣的是，Hua和Song一开始尝试借助ChatGPT寻找解法。虽然大语言模型帮助回答了部分问题、推动了进展，但最终提供完整证明的是Tudose。团队在论文中写道，Tudose的证明"更具一般性和概念性"，他们并未采用AI辅助得出的工作。
这个长达三十年的数学谜题的破解，架起了几何学、概率论和组合数学之间的桥梁，揭示了连续世界与离散世界之间出人意料的联系。虽然这类数学问题听起来晦涩，但许多日常技术都依赖于复杂的数学工具和算法。Talagrand猜想的解决有可能影响数据科学、机器学习和物流优化等领域，这些领域中涉及复杂随机性的模型随处可见。