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这周我(原文作者，下同)在IO9发了一篇问答，其中一个问题是：无限循环数如何相加才能得到一个有限数的和？

这是芝诺悖论后又一个困扰着诸多数学家们的难题。在芝诺悖论中，一个人如果要过街，他首先走完总程的1/2，接着走完剩下1/2的1/2，以此类推，无穷尽也。几个月前有一个视频认为：

1 + 2 + 3 + ….的和为-1/12，一时间被疯狂转载，网络上顿时掀起热烈讨论。(煎蛋也转载了这篇)

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不过说到无穷数谜，大多数人第一次遇到的就是：0.999……无限重复下去，最后会等于1么？

从魔兽世界游戏中的留言板到安·德兰论坛，大家对这个问题的争论非常火爆。对于芝诺悖论，大多数人都觉得题中人最后会到达街对过。可同样的情形放到循环小数里，直觉就会告诉你0.999……怎么也不会等于1啊。光是看就知道0.999……比1小，但是差的却不多……大家都认为0.999……这个数只是不断接近目标，却永远也不会达到。

不过，他们的老师(包括我在内)，会说：错，0.999……就是1。

想要说服人们站到我这边，我就要用下面的方法：

众所周知， 0.33333……=1/3

两边同时乘以3得到0.999… = 3 / 3 = 1

如果这还不足以让你动摇，试试把0.999…乘上10，也就是将小数点向右挪了一位，所以我们得到了

10 x (0.999…) = 9.999…

现在把两边的烦人小数都去掉，我们在等式两边同时减去0.999……

10 x (0.999…) - 1 x (0.999…) = 9.999… - 0.999…..

得到了9 x (0.999…) = 9.

什么数乘以9会等于9？自然是1。

对于大部分人，这种证明方法就足够了。但是老实说，这套证明体系缺了点什么，也没有真正解决0.999……=1的不确定。事实上这种手段只是用了些代数上的小把戏，你不会真的以为1/3=0.333……吧？
比起相信1/3=0.333……，其实还有更可怕的：

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …?

省略号在这里的意思是相加过程会永远持续下去，每次相加的数字大小都是上一次的两倍。这么大的和毋庸置疑应该是无穷大了。但是你试试乘以2，会发生什么？

2 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ….) = 2 + 4 + 8 + 16 + …

好像和原来的和差不多，只是(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …)前面多了个1，所以(2 + 4 + 8 + 16 + …)比(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …)小1，换句话说：

2 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) - 1 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = -1

相减得到：

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = -1

将越来越大的数字相加无限次，结果却等于-1？

更疯狂了来了，求下列无穷和：

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …

有人会这样理解：

(1-1) + (1-1) + (1-1) + … = 0 + 0 + 0 + …

除了上面这种和为0的观点，还有一种理念认为应该这样看待算式：

1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - … = 1 – 0 – 0 – 0 …

结果和为1，到底是0还是1？还是“一半时间是0，一半时间是1？”最后的值是多少取决于你停在那里，但是无穷和是不会停的！

先不要着急下结论，我们先假设T是这个神秘的和：

T = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …

两边同时取负

-T = -1 + 1 - 1 + 1 - …

我们注意到右边刚好是T-1，也就是说：

-T = -1 + 1 - 1 + 1 - … = T - 1

所以 -T = T - 1,这个方程只有当T=1/2时才有解。一个由许多整数相加的无穷和到最后竟然神奇地出现了分数解？

你是不是还是觉得没有道理？但是包括意大利数学家格兰迪在内的一些人表示1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …最后会出现分数解，许多时候，人们将1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …称为格兰迪级数。在1703年发表的一份文章中，格兰迪认为这个发散级数的和应为1/2，这个不可思议的结论也代表了宇宙从无到有的造物过程，许多当时的著名数学家，包括莱布尼茨和欧拉都赞同格兰迪的计算，不过不包括他的证明过程。

实际上，0.999……之谜的答案还需要更深入的探索。你无须勉强同意我的代数解法，你完全可以坚持认为0.999…不等于1，而等于1减去一个无穷小的数。既然说到这里，0.333……同样不等于1/3，同样差无穷小的那么一点点。要证明这点需要一点力气，不过也不是做不到。在数学领域，非标准分析这门学科就是专门研究这种数字问题的。非标准分析理论由亚伯拉罕·罗宾逊在20世纪中期创立，也正是非标准分析的出现，人们才终于搞清楚了无穷数的概念。要研究无穷数，你不仅要研究无穷小数，还要研究无穷大数。

好吧，回到我们的问题上来，0.999… 到底是什么？是1么？还是比1小无穷小的数？

现在揭晓正确答案：0.999……可以表达为：
0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + …

这又是什么意思？其实看着让人厌烦的省略号才是真正的问题所在。如果我们有100堆东西，我们还是可以数得出具体数量。但是无穷多我们要怎么办？问题变得不一样了。真实世界绝不可能出现无穷多的“堆”。那么无穷和的数学值又是什么？答案是——除非我们给于一个值，否则不存在这样一个值。法国数学家柯西提出了这个伟大创新理念，他在19世纪20年代将极限这个概念引入了微积分。

伟大数学家哈代在《发散级数》一书中很好的解释了这个问题：

“除非符号分配被定义，现代数学家从来不会认为数学符号有‘意义’，即便是18世纪最伟大的数学家也不觉得定义符号是件琐碎的事情。现在的数学家们都没有定义的习惯：他们觉得写上“我们将X定义为Y”这么许多字相当不自然。”在柯西之前，大多数数学家都会问“1 - 1 + 1 - 1 +…等于几？”，他们不会问“如何去定义1 - 1 + 1 - 1 +…？”这种思维习惯让这些数学家陷入不必要的困惑和争论中。

随着你0.9 + 0.09 + 0.009 + …不断相加下去，最后的值会越来越接近1。最后这个无穷和会随着无穷的相加，最终到达1，并且永远留在1的位置。哈代则认为，这个无穷数应该被简单地定义为1，他也花了一番功夫证明这样定义不会造成其它地方出现什么大矛盾。

对于格兰迪级数1 - 1 + 1 - 1 + …，柯西的理论不管用了。用Lindsay Lohan的名言说就是：极限不存在！

崇尚柯西解法的挪威数学家Niels Henrik Abel在1828年写道：“发散级数是恶魔发明出的东西， 任何基于发散级数的证明都是自取其辱。”而哈代的观点(也是我们今天的观点)更为宽容。对于某些发散级数，我们可以赋值，对于另一些发散级数，我们则不应该赋值。现代数学家会说如果要对格兰迪级数赋予一个值，那么就应该是1/2，因为在所有关于无穷和的理论中，但凡能够引起一些注意的，要么认为这个级数的值为1/2，要么像柯西一样拒绝赋值。1+2+3+4……这个级数的情况也很相似，这是一个发散级数，柯西会说这个级数没有值。但是如果真的要给这个级数一个值的话，-1/12可能是最好的选择。

0.999…这个问题之所以能引起如此大的争论，因为它与我们的直觉不符。我们希望任何一个无穷级数都恰好能够符合运算操作，所以好像0.999……需要等于1。另一方面，我们希望每个数字都有一串唯一的小数位数表示，这就与同样一个数既可以用1表示，也可以用0.999…表示相矛盾。两种愿望无法共存，所以必须舍弃其中一个。柯西用独一无二的十进制展开打开了一扇解决这个问题的窗户，在提出后的2个世纪里，这种解法的价值得到了充分证明。

虽然英语有时候使用两种不同字母串(例如，两个单词)来表示世界中一样相同东西的两种同义词，但是我们并没有因此产生任何困扰。同样的，两种不同的数字串表示同一个数字也不是什么天塌下来的事情。

0.999……等于1么？没错，0.999……确实等于1。前提是我们大家一致同意这个不断重复的无穷小数的意思就是1。

本文译自 Slate，由 王大发财 编辑发布。

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