菲尔兹奖得主、著名的华裔数学家陶哲轩在9月10日的博客上发表了关于考拉兹猜想Collatz conjecture部分结果的证明。

所谓的考拉兹猜想，就是大名鼎鼎的3x+1猜想。具体的内容是说，任取一个自然数x，如果x是偶数，则除以2；反之，3x+1后，再除以2；如此得到的数字记为x1，对x1继续执行如上的操作得到x2……如此反复，最终必然能够得到数字1！

虽然看起来，整套运算都没有脱离加减乘除的范围。但实际上，猜想的结论并非显而易见，我们甚至还没搞清，数列本身是否有界。

它似乎最早出现在美国，具体出处不详，已知的，从西拉古斯大学大学传到贝尔实验室，再到芝加哥大学。因早期有众多的传播者，所以在传播过程中，3x+1猜想收获了许多名字：考拉兹猜想、乌拉姆(Ulam)问题、角谷静夫猜想等。

因为，命题本身的表述极其初等，却又让数学家感到完全无从下手。甚至有人半开玩笑地说，这一问题是苏联克格勃的阴谋，目的是要阻碍美国数学的发展。

随意举一个具体数字的栗子：

x=17(为奇数，因此3*17+1除以2)>26(偶数) > 13> 20> 10> 5> 8> 4> 2> 1。

如果将初始值记为n，上面一整套运算的最后结果(如果有的话)记为S(n)，根据猜想，S(n)=1。

等式或许是一个过于强大的结论，所以数学家尝试旁敲侧击，通过不等式偷偷渗入敌境。所以他们先试图证明，存在某个常数M，S(n)≤M。然后再逐步缩小M，直到M=1。

可惜，很长时间以来，他们甚至都未能证出S(n)≤n！更不要提固定的常数了。

结果半个多世纪的努力，多多少少收获了些许进展。如今，陶哲轩总括之前的结论，证明了(如果审核无误的话)对函数f，只要{f(n)}是一个趋于正无穷的实数列，除去至多有限个在对数密度意义下占比为0的例外，都有S(n)≤f(n)成立。

当然，这离最终的结论还差十万八千里，而3x+1猜想也被称为是未来的数学问题——可能根本不是现有技术可以解决的。

附clkw评论 对数密度是什么呢，就是我们给每个数字一个权重，越小的数字权重越大，我宁愿2、3、4都在M里面，而不是200、300、400都在M里面(虽然只数个数的话是相等的)；要是5不在M里面，这不只是个数减了一的问题，我需要更多的500、501、502等等都要在M里面，才能维持“加权”后的“占有率”；当然了，最后还是取当k趋近于无穷时的极限，假如极限是1，那么我们就说在对数密度意义下，N里面几乎全都是M。咦那为什么叫对数密度呢？这是因为有一个小常识，1+1/2+1/3+1/4+…+1/k 在k很大的时候是趋向于log(k)+常数的，这里log表示自然对数。因此假如我给每个数字n加的权重就是1/n的话，我把属于M且小于k的这些数字n的权重加起来，将总和除以log(k)，我就能期待当k趋近于无穷的时候极限刚好是1

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