本周的《SIAM应用代数与几何学期刊》上有一篇论文，作者Mireille Boutin和Gregor Kemper利用安装在无人机上的4个麦克风接收到的一阶回波来测绘房间的形状。

想象一下，一台扬声器放在装有几个麦克风的房间内。当扬声器发出声音脉冲时，声音在房间的各个墙壁间回荡，麦克风会接收到几个延迟的响应。一阶回声——仅在墙壁上反弹一次之后就被接听，依此类推，还有二阶回声，三阶回声……。

普渡大学数学、电气和计算机工程教授Boutin解释说：“麦克风会听见在有限的平面或屏壁上反弹的短时声音。当麦克风接收到回声时，会记录发射和接收之间的时间差，而时间差对应于声音走过的距离。”

一阶回声的时间延迟为能够确定麦克风和墙壁之间的距离，但无法确定回声来自哪面墙壁；根据麦克风的配置和房间的几何形状，甚至都可能无法接收到指定墙壁的回声。

作者使用一种已知的建模技术来定位一阶回波。此方法将回声解释为来自墙后的虚拟声源而非声波反射，因此允许虚拟源点代表墙壁。

Boutin说：“发射和接收之间的时间差提供了麦克风和虚拟源点之间的距离。如果我们知道从这些虚拟声源点之一到每个麦克风的距离，我们可以确定虚拟声源的坐标，然后在墙壁上重建4个点，从而重构出墙壁所在的平面。”

但是，麦克风无法确定与每个虚拟源点(即每个墙)相对应的距离。为此，Boutin和她的同事设计了一种标记每面墙的相关距离的方法，他们称之为“回声分类”。

回波分类技术使用多项式作为筛选工具，判断4段距离是否位于某4变量多项式的解集上。多项式非零表明它们并非来自同一面墙。

这项研究表明，用4个麦克风获得的一阶回声重建房间形状是一个在通用条件下可解答的理论问题。Boutin指出：“这是解决相应现实问题的第一步。如果问题不存在解，那么实际的解决方案将需要更多的前置信息。但是，由于我们知道问题是可解的，因此，可以继续下一步——找到一种在回波测量时重建房间的方法。”

这项任务绝非易事，某些无人机配置会制造出更多的问题。

虽然数学框架仅要求非共面麦克风的刚性配置，但这项研究还有其他潜在的应用方向。慕尼黑工业大学数学系教授Gregor Kemper解释说：“这些麦克风可以放在移动工具上，如汽车，潜水器或头盔上。汽车与无人机有一个有趣的区别。它只具有3个自由度，而无人机有空间6个自由度。我们的工作表明，6个自由度几乎足以保证问题可解，但这并不一定意味着3个度也足够。汽车和任何地面装置是我们小组正在进行的研究主题。”

对于此类问题，实现计算经济性是Boutin和Kemper的重要目标。“开发出计算成本较低的算法，尤其是如果这种方法被证明适用于其他情况，是我们的愿景。我们的数学框架适用于基于地面的车辆，但是实际所需的计算是个严峻挑战。我们希望其他团队也来探讨这个问题。”

本文译自 phys，由 majer 编辑发布。

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