60多年前，传奇的匈牙利数学家保罗·埃尔多斯(Paul Erdős)提出了下面的问题：如果要保证某无限的整数列包含至少三个等间隔数字，如26、29和32，数列应该满足什么性质。

单纯无限是无法满足条件的，等比数列1、10、100、1000……就是一个反例。其中任何三个数字拿出来都无法构成等差数列。

Erdős在他的职业生涯中提出了成千上万个问题，但是上面这一问题是他最爱的问题之一。剑桥大学的蒂莫西·高尔斯(Timothy Gowers)表示：“我认为许多人将其视为Erdős的第一难题。”高尔斯(Gowers)于1998年获得了菲尔兹奖(Fields Medal)，为解决这个问题花了不少时间。他说：“任何一位有野心的加法数论组合主义者都应该尝试解一下。”

通常，与稀疏列表相比，更密集的数字列表包含算术级数的可能性更高，因此Erdős提出了一个简单的判别法：只需将列表中数字的倒数相加即可。如果可以使倒数和为无穷大，那么Erdős猜想，列表应该包含无穷多个有限长度的算术级数。

现在，7月7日，剑桥大学的Thomas Bloom和斯德哥尔摩大学的Olof Sisask证明了长度为3时的Erdős猜想。他们二人证明，只要数列的倒数和是无限的，则数列必包含无限多个均匀间隔的三元数组。

加州理工学院的Nets Katz说：“这一结果具有里程碑意义。”

比如说对于全体素数，我们几个世纪前就已知道，全体素数的倒数和是无限或者说发散的。Bloom和Sisask的新发现意味着，您不需要对素数的独特结构有深入的了解即可证明，它们包含无数个长度为3的等差数列。

新论文长达77页，数学家需要花费一些时间仔细检查它。但是许多人表示乐观。Katz说：“它看起来大有希望。”

Bloom和Sisask于2014年开始合作，到2016年，他们认为自己已经成功。Bloom甚至在一次演讲中公开宣布，后来却意识到他们原本认为是显而易见的结论是不对的。两人一直走下去，深入研究Bateman和Katz的方法，并最终汲取新思想将有限集合上的技术移植到组合数论之上。

其他数学家期望进一步从Bloom和Sisask的方法里，找到更为普遍的思想，进而彻底解决更一般的Erdős猜想。

论文下载地址：https://arxiv.org/abs/2007.03528

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