顾名思义，无理数就是“不讲道理”的数字。它们拥有无限的小数位，同时还缺乏显著的规律，如循环周期。

最著名和重要的无理数，诸如√2，圆周率π。

实际上，我们真正能处理的只有整数之间的四则运算。我们在现实情境(物理或工程)面对无理数时，往往都是借助它们的近似值。比如说，中国古算书《周髀算经》(约公元前2世纪)的中有“径一而周三”的记载，意即π=3。

当然，使用近似值的时候，要考虑精确度的问题——显而易见，π=3.14时就要比3更加精确，使用π参与的运算结果也更加符合实际。

从技术上说，利用分数来逼近无理数，更加容易控制精确度。古巴比伦石匾(约产于公元前1900年至1600年)清楚地记载了圆周率 = 25/8 = 3.125，而阿基米德求出了圆周率的下界和上界分别为223/71 和22/7；南北朝时期的数学家祖冲之进一步得到π=355/113。

1941年，物理学家Richard Duffin和数学家Albert Schaeffer提出了一个看似简单的问题。他们说，先不考虑分子，从自然数中选出无限多个数字作为分母，那么我们能不能通过对每个分母精挑细选出分子，使这些分数成为目标无理数的近似值呢？

就像之前所言，提及近似值的时候，要考虑到精确度。

Richard Duffin和Albert Schaeffer经过缜密分析和实验后，发现了一个现象：当你选定分母序列后，对于给定的精确度范围，我们要么可以通过精心地选择分子，使分数序列几乎可以完美地近似所有无理数(这句话怎么写都有歧义，所以要啰嗦点：不是同时近似所有无理数，是选择分子，使分数列都近似单一无理数；然后再选择分子，近似其它的无理数——如果我没有理解错误的话)；要么就是，无论我们怎么选择分子，都几乎无法使分数在给定精度内近似任何一个无理数。(这里的几乎是数学上的术语，意思是存在例外，但例外在某种测度上可忽略)

或者赢家通吃，或者一无所有。

后来的数学家将之命名为Duffin-Schaeffer猜想，虽然看似简单，实则触及了自然数系统中的深刻性质，是数论中的具有里程碑意义的开放性问题。

现在，牛津大学的James Maynard)与蒙特利尔大学的Dimitris Koukoulopoulos共同撰写了44页的论文，宣称解决了Duffin-Schaeffer猜想。证明用到的思想和工具都极其复杂，甚至该领域的学者大概也要数月时间才能消化掉所有细节，这里无法细表。

如果一切顺利的话，这将是今年迄今为止，最为重要的数学成果。

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