数学家证明了圆盘的特征值满足 Pólya 猜想，这是困扰数学界70年的难题。

蒙特利尔大学数学与统计系教授 Iosif Polterovich 总是着迷于一些有趣的问题，例如通过鼓发出的声音判断其形状是否可行。他利用谱几何这一数学分支来研究波传播相关的物理现象。

去年夏天，波尔特洛维奇携手其国际合作团队——Nikolay Filonov、Michael Levitin 和 David Sher——证明了著名匈牙利裔美国数学家 George Pólya 在 1954 年提出的关于谱几何猜想的一个特例。

该猜想涉及圆形鼓的频率估计，用数学术语来说，即圆盘的特征值。

1961 年，波利亚本人证实了猜想在可平铺平面的域(例如三角形和矩形)上的成立。直到去年，该猜想仅在这些情况下得到证明，看似简单的圆形案例却一直悬而未决。

“想象一下铺满相同形状瓷砖的无限地板，这些瓷砖可以完美拼接，” Polterovich 说，“正方形和三角形可以做到这一点，但圆形不行。圆形实际上并不适合平铺。”

研究人员在数学期刊《发明数学杂志》上发表的一篇文章中证明了Pólya猜想在圆形上的成立，该案例此前被认为极具挑战性。

尽管他们的成果在本质上属于理论价值，其证明方法在计算数学和数值计算方面也具有应用潜力，研究团队目前正在对此进行探索。

“虽然数学是一门基础科学，但在某些方面它也类似于体育和艺术，” Polterovich 说，

“尝试证明一个长期存在的猜想就像是一项运动，找到一个优雅的解法则是一种艺术。在许多情况下，美丽的数学发现最终都会派上用场，你只需要找到合适的应用领域。”

Polterovich 团队的关键突破在于将问题转化为研究另一种几何对象：黎曼曲率。他们利用微分几何和算子理论等工具，最终克服了困扰数学界数十年的难题。

Pólya 猜想的证明不仅填补了谱几何领域的重要空白，也为相关领域的进一步研究奠定了基础。其证明方法的潜在应用价值也值得期待。

Polterovich表示，团队将继续研究 Pólya 猜想的其他特例，并探索其在其他数学领域和应用领域的潜在影响。

“这是一个激动人心的发现，它将激励数学家们继续探索未知领域，” 他说，“我们相信，数学之美将在未来的发现中不断闪耀。”

本文译自 phys.org，由 BALI 编辑发布。

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