MIT本科生打破对称束缚，提出新排列法，解决球体“亲吻问题”的多个维度难题，揭示数学深层可能性。
1694年5月，在剑桥大学的一间讲堂里，Isaac Newton和天文学家David Gregory开始讨论恒星的本质，却意外引发了一个跨越数世纪的数学难题。他们的对话细节记录不详，甚至可能是传说，但主题与不同大小的恒星如何围绕中央太阳运行有关。这次讨论激发了一个更广泛的问题：给定一个中心球体，最多可以有多少个大小相同的球体围绕它排列，并与其接触但不重叠？
在三维空间中，12个球体围绕中心球体排列，使每个球仅在一个点接触，这是显而易见的。但这种排列在球体之间留有缝隙。能否将第13个球挤入这些缝隙中？Gregory认为可以，而Newton则不这么认为。
这个被称为“亲吻问题”的难题(源于台球碰撞时的“亲吻”)在分析原子结构和构建纠错码等领域有着重要应用。
但它也是一个极具挑战性的数学难题。直到1952年，数学家才证明Newton是对的：在三维空间中，最多只能有12个“亲吻”点。
这个问题可以被推广到任意维度。在二维中，答案显而易见——最多可以放置6个球，就像围绕一枚硬币形成的花朵图案。在更高维度，问题则变得复杂。
目前，数学家已解决了四维、八维和24维的亲吻问题，在这些维度中，球体可以以极其对称的晶格结构排列。但在其他维度中，问题仍未解决，数学家只能计算出上下界，甚至可能相差巨大。在这些情况下，问题不再是能否增加一个球，而是能否增加成百上千甚至上百万个球。
为改善这些估算，数学家通常依赖对称性来安排球体。但最佳排列可能完全没有对称性。“可能存在完全无对称性的结构，”RWTH Aachen大学的Gabriele Nebe说道，“但我们却没有好办法找到它们。”
2022年春，麻省理工学院的本科生Anqi Li大胆挑战传统方法。她在课堂项目中提出了一个看似简单的想法，并和她的教授Henry Cohn合作，首次在17至21维解决亲吻问题。
Cohn认为传统方法让问题停滞不前。“我们不是在接近真相，而是被卡住了。”Li的突破正是因为她敢于打破一些不成文的规则。
为什么改变符号能创造更多空间？目前尚不清楚，但结果的确如此。Henry Cohn表示，这让人意识到一个“看似微不足道的改变可能开启或关闭某种可能性”。这也揭示了数学家对接触问题的了解是多么有限。
在构建新型纠错码和球体排列时，数学家通常依赖对称性，比如Leech构造的方法。这让过程更直观，但也可能限制了探索其他可能性的视角。Henry Cohn指出，“我们可能还未接近真相，因为它根本没有一种人类可以理解的描述。”
最近几年，一些数学家通过“打破”对称规则，在维度5、10和11中取得了巧妙的构造。例如，匈牙利数学家Ferenc Szöllősi有意选择了一个看似次优的四维球体排列，成功将其拓展到五维，并匹配了当时的最佳估计值。几十年来，这一估计值只有两种结构生成，而数学家普遍认为不存在其他可能性。但Szöllősi却发现了第三种构造，后来还意外得知其他两位研究者也发现了类似结构，但并未意识到它的重要性。这让Cohn倍感惊讶，并与另一位学生找到了一种第四种结构。
每一个新发现的非传统结构，都为“真相”提供了线索。Cohn补充道：“接触问题依然充满谜团。”
本文译自 Quanta Magazine，由 BALI 编辑发布。