系统讲解多旋翼无人机物理建模，涵盖坐标系、动力学方程、力与力矩生成及级联PID控制。
多旋翼无人机以6自由度建模：3个线性轴(x、y、z)和3个旋转轴(横滚、俯仰、偏航)。通常采用北-东-地坐标系，正x轴指向前方即北，正y轴指向右方即东，正z轴指向下方，构成右手坐标系。文章假设读者具备入门级线性代数、微积分和经典力学基础。
描述飞行器需要使用两个参考系。惯性参考系是静态的世界框架。机体固定参考系坐标轴与刚体重心对齐，随飞行器移动和旋转。飞行器位置由机体相对于惯性系的位移向量表示。机体方位遵循Tait-Bryan角约定，按偏航绕惯性z轴、俯仰绕新y轴、横滚绕新x轴的顺序进行三次连续旋转确定。旋转矩阵用于在两种参考系之间转换向量。输运定理则解释了在旋转参考系中向量变化率的两部分构成：向量自身在其坐标系中的变化加上旋转坐标系的变化率。
飞行器的完整状态由12个变量完全描述：惯性系中的三维位置、机体系轴向的三维速度向量、三个欧拉角表示的机体方位以及沿机体系三个轴的瞬时角速度。
力与力矩在机体坐标系中表示。作用于飞行器的力包括推力和重力。p个螺旋桨的总推力沿机体z轴方向，重力在惯性系中指向下方转换为机体系坐标后与其他力合并。线运动方程基于牛顿第二定律结合输运定理推导，加速度由推力除以质量、重力分量和速度叉积项共同决定。
角运动方程涉及转动惯量矩阵。文章将飞行器近似为四类形状的组合：实心球、实心圆柱关于对称轴和垂直对称轴、以及点质量，结合平行轴定理计算总转动惯量。假设轴向对称后，惯性矩阵简化为对角阵。两种力矩作用于飞行器：推力力矩通过各螺旋桨推力与质心向量的叉积求和产生，引起俯仰和横滚；偏航力矩由电机扭矩产生。角速率变化率通过转动惯量矩阵求逆后计算得到。
螺旋桨推力模型与转速的平方成正比，扭矩同理。无刷直流电机由反电动势常数和内阻参数化，动力学方程将外加电压、电磁扭矩、摩擦耗散和螺旋桨阻力扭矩串联起来。
控制层面采用级联PID架构。误差信号通过三个层次传播：水平位置误差产生期望速度，速度误差产生期望姿态角，姿态角误差产生期望角速度。垂直方向单独控制。最终输出所需推力及三轴力矩，通过控制分配矩阵映射到各电机转速。对于非方阵求逆，使用伪逆或奇异值分解。更高层路径规划可使用S曲线和B样条构建满足飞行器约束的平滑轨迹。文章推荐ArduPilot作为开源控制与仿真框架的进一步参考。
原文：https://iahmed.me/post/drone-physics/