关于“快乐数”的一些事

keep_beating @ 2012.08.19 , 12:59 上午

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首先，进行一下“快乐数”的科普是很有必要的。它指的不是什么幸运数字，而是数学中的一个有趣的现象：

快乐数（happy number）有以下的特性：在给定的进位制下，该数字所有数位(digits)的平方和，得到的新数再次求所有数位的平方和，如此重复进行，最终结果必为1。
例如，以十进位为例：

1)：28 → 2^2+8^2=68 → 6^2+8^2=100 → 1^2+0^2+0^2=1

2)：32 → 3^2+2^2=13 → 1^2+3^2=10 → 1^2+0^2=1

3)：37 → 3^2+7^2=58 → 5^2+8^2=89 → 8^2+9^2=145 → 1^2+4^2+5^2=42 → 4^2+2^2=20 → 2^2+0^2=4 → 4^2=16 → 1^2+6^2=37……

因此28和32是快乐数，而在37的计算过程中，37重覆出现，继续计算的结果只会是上述数字的循环，不会出现1，因此37不是快乐数。

不是快乐数的数称为不快乐数（unhappy number），所有不快乐数的数位平方和计算，最后都会进入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循环中。

在十进位下，100以内的快乐数有（OEIS中的数列A00770） ：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100。

那么快乐数到底是什么呢？首先从根本上来说，快乐数是数学家们享受数学，在数学中发现乐趣的证据。他们和数字打交道，玩耍的方式就像我们普通人（...）玩玩具一样。然后，他们就决定，有些数字是快乐的，因为它们都能以“1”结束，而那些不快乐的数字（他们真的叫不快乐数...）只能迷失在无尽的不循环当中。除此之外，还有无限的，令人恐惧的“4”.

有些时候我看到关于数学的论文时，我会想到这种景象：数学能够描绘出的那些非凡的，精确的，美丽的图景，这些景象是照片，甚至是人的本能都无法做到的。这样的数学，可以预测光子的运动，宇宙的雄壮，维度之间的交汇，银河的漂移。

剩下的时候，数学给我的印象就是，数学家拿着一张绘图纸，上面画了三个椭圆还有一个笑脸，然后数学家向人们兴奋地大喊：“我成功了！”，“我发现了！”或是“我证明出来了！”之类的。快乐数，对我来说，就是后者——快乐的数字，神秘的宿敌，4之螺旋，这些都是有趣的现象，不过我并不认为这是什么重大的发现。

发现一个快乐数是很简单的事。随便挑一个数字，把每一位都分离出来，每个数字平方，再将平方后的数字加起来，如簇往复，如果最终得到了1，这个数字就被定义为是快乐的。

但是，这个快乐数又能干什么呢？当然了，有些数字确实能做这些神奇的事情，有些数字不能。但是这有什么意义呢？就连数学家们自己都不知道，只是他们确定的是，那些最终结果不是1的数字，最终都会以4结束。一旦一个数字沾上了“4”，等待它的就是无尽的循环。我当然不会为了这一现象就去研究整个数学史，但是那些数字出现的规律是：4，16，37，58，89，145，42，20，4，然后就是循环，再循环，再循环 ...这就是一个不快乐的数字。

在大家问起这个问题之前，我要说，目前这些快乐数还没有任何“用处”，它只是多年以来数学家们一直在试图挖掘的一个事实。

#这样说吧，这个奇怪的现象，就连那些共济会的阴谋论者都不屑于使用。我唯一能想到的就是当年 NASA 用过的，向太空发射质数的那一招——用于引起其他文明的注意。不过这个事实实在是太蛋疼了，我想就连外星人都不会认为这有什么大不了的。

不过，一个简单的平方过程就能将所有的数字归于两个种类之中，这难道是上帝的旨意？或者只是数学本身的魅力。

本文译自 : iO9 ，由 keep_beating 编辑发布。

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