论文原文：https://arxiv.org/abs/2402.13520

这篇文章结合达芬奇的洞察以及生物学和分形几何的最新研究，提出了一种衡量艺术中树木比例的新方法，并将其应用于不同艺术领域的作品分析。

树木在艺术作品中几千年来一直激发着观赏者的情感。莱昂纳多·达芬奇描述了树木的几何比例，既为绘画提供了指南，又让我们更深入了解树木的形态和功能。达芬奇的树木比例法则进一步暗示了分形分支，其特定的缩放指数 α = 2 同时控制着相邻树枝直径之间的比例和给定直径的树枝数量。当代生物学越来越支持一个类似的规则，即 α = 3，称为默里定律。在这篇文章中，我们将艺术中的树木与一种比例理论联系起来，该理论的灵感来自达芬奇和现代树木生理学。我们测量了 16 世纪伊斯兰建筑、江户时代日本绘画和 20 世纪欧洲艺术作品中的 α 值，发现 α 值在 1.5 到 2.5 之间。我们发现理想分支的符合和偏离都会创造风格效果，并适应设计和实施方面的限制。最后，我们分析了 Piet Mondrian 的一棵抽象树，它没有明显的分支，但却准确地捕捉了现代缩放指数 α = 3，比默里定律早了 15 年。这种视角扩展了经典的数学、生物学和艺术方式，让我们理解、再現和欣赏树木的美。

经典的比例理论，例如三分法则或黄金分割，描述了设计中特定维度之间的比率。例如，维特鲁威将建筑中的特定比例与人体形态联系起来，正如达芬奇的维特鲁威人所描绘的那样。

树木因其可变性，并不遵循预定的比例。每棵树在生长过程中都会弯曲和分枝，产生独特但可识别的形态，其变化和细节超越了简单的比例。然而，通过仔细注意比例，艺术中的树木给人留下深刻的视觉印象。

达芬奇也讨论了树木的比例，但他没有指定确切的比例，而是用图形描述了一系列可能性。达芬奇的理论与其与现代树木生理学的对应关系具有先见之明，现代树木生理学使用经过相对较小修改的“达芬奇法则”。在这里，我们将根据其最初的意图——作为艺术比例理论——结合达芬奇的理论与现代树木生理学和分形几何的最新见解进行发展，这些见解在达芬奇那个时代还不可用。然后我们将理论与著名艺术作品进行比较。我们发现了一些符合达芬奇法则的作品，也发现了一些因设计限制而达不到标准的作品，甚至还发现了一些巧妙地预见到现代理论的作品。

树木的比例与人体、罗马柱或帆布构图的比例的区别在于分枝。每当一根树枝分叉成两根，它就会创造出更小的自己，产生无限精细的结构和细节，一直到最细的树枝。这种分支也不遵循确定性规则；分支模式会受到光、风、温度和重力的微妙影响，使每棵树在生长过程中都形成独特的比例。

尽管如此，这种递归或自相似的形式现在被理解为分形 。分形几何使用统计自相似性的想法来描述具有越来越精细细节的形状：物体由随机的、不精确的较小版本组成，例如使用递归算法生成的树木。分形图案长期出现在艺术中，在不同文化中具有审美和精神价值。传统非洲和印度艺术、建筑和宇宙观充斥着分形形状、自相似性和自我引用，而古代中国书法评论家则珍视那些难以形容地类似于壮观的夏日云朵、墙壁裂缝和漏水房屋的水渍的文字——每个都是分形的典型例子。

人们投入了大量精力根据分形的决定性属性——分形维数——来测量艺术作品，但结果有时会引起争议，并且没有特别的信息量 。对分形维度的关注源于数学基础研究中关于维度、无限性和连续性之间关系的讨论 ，但对于描述真实系统，我们认为更细致的度量可能更有用。事实上，达芬奇的理论暗示了一种肢体半径与数量之间的缩放关系，我们在下面进行描述。这种缩放关系类似于分形维度，因为它控制着观察能力提高时出现的细节量，但它也对应于现代血管生物学理论中的可测量物理参数。

利用达芬奇的方法，结合生物学中发展起来的分形几何和统计学见解 ，我们提出了一种树木比例理论，该理论可以在艺术中进行测量，并与各个领域的成果进行比较。与数学理想化相比，树木的艺术理想化甚至可能对生物学也具有重要意义，因为在现实世界中，由于树枝折断、阴影、树皮和其他复杂因素的影响，测量非常困难。因此，我们将从艺术、艺术史、生物学和分形几何的角度进行分析，以利于各个领域。

本文译自 [2402.13520，由 BALI 编辑发布。 Fractal scaling and the aesthetics of trees]

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