破解湍流之谜：数学家揭秘“超扩散”现象

三位数学家首次证明湍流中的超扩散现象，揭示粒子在湍流中异常快速扩散的规律，为解决湍流数学难题带来新希望。

1906年9月30日下午，巴黎市中心聚集了20万名观众，观看一场盛大的热气球比赛。16位顶尖飞行家驾驶着高达50英尺的黄色和琥珀色气球，从七个国家齐聚，目标是在降落前飞得尽可能远，仅靠一个氢气释放阀控制飞行。起初，天气平静得仿佛时间凝固。然而，夜幕降临，观众散去后，狂风突起，将气球猛烈吹散，有的坠落在诺曼底，有的甚至飘过英吉利海峡，落在了英格兰。

这场比赛无意间成为了一场科学实验，改变了数学物理的轨迹。20年后，贵格会科学家Lewis Fry Richardson在研究湍流天气时，偶然在《航空期刊》中发现了这些气球的降落数据。他将这些数据与自己收集的火山灰扩散和蒲公英种子随风飘散的轨迹相结合，绘制成图。令人惊叹的是，无论是气球、火山灰还是蒲公英种子，地球大气在大小尺度上的湍流旋转总能以惊人效率分散物体。Richardson据此提出了一个描述湍流扩散的普遍规律，至今仍是数学家努力证明的难题。

湍流是现代科学中最神秘的现象之一。描述河流或空气流动的方程已有两个世纪历史，在流体平稳流动时，这些方程运行良好。然而，当流体进入湍流状态，流体会分裂成旋涡和涡流，进而形成更小的涡旋。这种模式在越来越小的尺度上重复，直到分子碰撞阻止涡旋形成。不同尺度的涡旋相互影响，使得用方程预测流体行为变得几乎不可能。想象一只橡皮鸭被扔进汹涌的河流，我们无法知道它下一秒会漂向何处。

通过数据收集和计算机模拟，物理学家们推测出湍流的一些特性，但数学家往往无法严格证明这些推测。湍流的数学之谜甚至成为价值百万美元的“千年数学难题”之一，挑战着全球最优秀的头脑。Richardson曾提出一个假说：如果在河流中放入两只橡皮鸭，它们会以远超预期的速度被湍流分开，涡旋的相互作用会给鸭子一个特殊的“助推力”。这种现象后来被称为“超扩散”，被视为湍流的核心特征之一。然而，直到最近，即使在高度简化的流体模型中，超扩散也未被严格证明。

这一局面在去年迎来了转机。三位数学家首次证明，在简化的湍流模型中，粒子确实表现出超扩散：它们以可预测但异常快速的方式扩散开来。这项突破为湍流研究打开了新窗口。纽约大学Courant研究所的数学家Vlad Vicol对此评价道：“这可能是湍流数学领域最具深远意义的结果之一。”

这项研究的灵魂人物之一、Courant研究所的数学家Scott Armstrong，却认为这项成果远不止关乎湍流。十年前，他甚至不清楚湍流为何物。他的研究最初聚焦于一种鲜为人知的数学技术——均质化。这种技术能在特定条件下证明一个看似复杂、充满噪声的系统，在较大尺度上表现出简单行为。就像透过迷雾看清远处的山峰，均质化能将小尺度上的混乱“平均”成大尺度上的规律。

然而，均质化的应用通常受限于严格条件：小尺度噪声不能过于极端。这让它在分析复杂物理系统时显得力不从心。但Armstrong看到了均质化的独特魅力。他相信，只要改进这项技术，它就能应对更接近现实的复杂场景。他回忆道：“我一直觉得，如果能让它真正发挥作用，这个方法会改变很多问题的解决方式。”

要证明自己的想法，Armstrong需要一个足够有挑战性的测试案例，而湍流正是完美的选择。Richardson曾用一首诗概括湍流的能量传递：“大涡生小涡，小涡再育更小涡，直至黏性耗尽能量。”他推测，这种从大涡到小涡的能量级联会加速粒子扩散，形成超扩散。但数学家们始终无法证明这一猜想。

1980年代，物理学家们简化了问题，构建了一个理想化的湍流模型。这个模型保留了湍流的涡旋特征，但方程简单得多。他们再次提出：如果将粒子(或橡皮鸭)放入这个虚拟流体，它们会如何扩散？他们利用物理学中的“重整化”技术，推测粒子会表现出超扩散，但扩散速率与真实流体不同。然而，重整化被著名物理学家Richard Feynman戏称为“障眼法”，因为它缺乏数学严谨性。多伦多大学的Jeremy Quastel解释道：“重整化是个模糊的概念，虽然常常给出正确答案，但数学家很难将其严谨化。”

几十年来，研究湍流的学者面临两难：要么用模糊的物理推测提出大胆猜想，要么局限于严谨数学，证明一些次要结论。Armstrong却认为，均质化或许能为重整化提供坚实的数学基础。他与长期合作伙伴、赫尔辛基大学的Tuomo Kuusi，以及博士后研究员Ahmed Bou-Rabee组成团队，决心改造均质化技术。他们首先在虚拟流体上覆盖一个细密的网格，计算粒子在每个格子中的平均停留时间。有的格子像急流，粒子一闪而过；有的格子有小涡流，粒子被困住徘徊。

但问题在于，每个格子的行为差异巨大，正是这种小尺度混乱阻碍了均质化的应用。其他数学家认为，放大尺度只会让混乱加剧，涡旋会以更复杂的方式合并。Armstrong的团队却不甘心。他们尝试绘制更粗大的网格，将多个小格子合并，重新计算粒子的行为。他们发现，在稍大的尺度上，格子间的差异开始缩小。经过反复推演，他们终于证明，在一个相对较大的尺度上，流体的行为变得足够“平顺”，可以用标准的均质化技术分析。

这一过程耗费了近两年时间，成果写成300多页的论文。Bou-Rabee回忆：“那段时间非常紧张，我们常常周六早上6点起床去办公室，第二天继续。”最终，他们证明了粒子在这种流体中的扩散速率，恰好符合几十年前物理学家的猜想，超扩散被严谨证明。

这项成果不仅验证了Richardson百年前的观察——从气球到橡皮鸭，湍流总以惊人效率分散物体——还为均质化技术开辟了新天地。赫尔辛基大学的Antti Kupiainen认为，这项新技术可能帮助研究更真实的湍流模型，甚至应用于粒子物理等领域。Armstrong则充满期待：“现在可能性无穷无尽，我要好好享受这一刻。”

湍流的神秘面纱正在被揭开，而这场始于巴黎天空的冒险，仍在数学的疆域中继续。

本文译自 Quanta Magazine，由 BALI 编辑发布。